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matrice de passage exercice corrigé : Changement de base

abdelouafiJan 6, 2018

    1. abdelouafi

      abdelouafi Administrator Staff Member

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      On considère les deux bases [​IMG] et [​IMG] d'un même espace vectoriel [​IMG] de dimension [​IMG] .

      Matrice de changement de base de B à B'
      • Les vecteurs de base de [​IMG] peuvent s'exprimer dans [​IMG] selon les relations :

        [​IMG]

      • On appelle matrice de passage de [​IMG] à [​IMG] la matrice carrée [​IMG] définie par :

        [​IMG]

        Les colonnes d'indice [​IMG] sont formées par les composantes [​IMG] dans la base [​IMG] .

      • La matrice [​IMG] sera donc la matrice de passage de [​IMG] à [​IMG] .

        (voir exemple ci-dessous : Matrice de passage)

      • Si [​IMG] et [​IMG] sont deux bases orthonormées de [​IMG] , la matrice de passage [​IMG] est dite orthogonale et vérifie : [​IMG] .
      • (voir exemple ci-dessous : Matrice de passage orthogonale)
      Exemple : Matrice de passage
      Soit [​IMG] la base canonique de [​IMG] .

      Sachant que les vecteurs de la base [​IMG] sont définis par : [​IMG] ,

      la matrice de passage [​IMG] de [​IMG] à [​IMG] est la matrice carrée : [​IMG]

      La matrice [​IMG] sera la matrice de passage de [​IMG] à [​IMG] , obtenue en explicitant les vecteurs de base de [​IMG] dans [​IMG] .

      [​IMG]

      [​IMG]


      Exemple : Matrice de passage orthogonale
      Matrice de rotation dans le plan autour de [​IMG] .

      Soient [​IMG] et [​IMG] deux bases orthonormées.

      Pour une rotation autour de [​IMG] d'un angle [​IMG] , nous avons:

      [​IMG]

      La matrice de passage [​IMG] de [​IMG] à [​IMG] est donc : [​IMG]

      La matrice [​IMG] s'obtient en explicitant [​IMG] et [​IMG] en fonction de [​IMG] et [​IMG] ou en changeant [​IMG] en [​IMG] :

      [​IMG]

      La matrice de passage de ces deux bases orthonormées vérifie bien la relation : [​IMG]


      Conséquences d'un changement de base:

      Sur les composantes d'un vecteur
      En posant [​IMG] la matrice unicolonne des composantes dans [​IMG] du vecteur [​IMG] ,

      [​IMG] ,

      et [​IMG] celle du même vecteur [​IMG] dans [​IMG] :

      [​IMG] ,

      nous aurons alors : [​IMG] ou [​IMG] , où [​IMG] est la matrice de passage de [​IMG] à [​IMG] .


      Démonstration
      Soit un vecteur [​IMG] de composantes [​IMG] dans la base [​IMG][​IMG] et [​IMG] dans [​IMG] [​IMG] .

      Ce vecteur s'exprimera dans les deux bases sous la forme :

      [​IMG] dans [​IMG]

      [​IMG] dans [​IMG]

      Les vecteurs de [​IMG] étant reliés aux vecteurs de [​IMG] par la matrice de passage :

      img64.gif
      Agrandir l'image
      [​IMG]

      Nous aurons donc :

      [​IMG]

      [​IMG]

      Par identification des composantes :

      [​IMG]

      soit sous forme matricielle :

      [​IMG]


      Exemple : Transformation des composantes d'un vecteur
      Soient [​IMG] et [​IMG] deux bases orthonormées directes cartésienne et polaire.

      Exprimons les vecteurs de base de [​IMG] dans [​IMG] .

      img75.gif
      Agrandir l'image
      [​IMG]

      La matrice de passage [​IMG] de [​IMG] à [​IMG] est définie par :

      img69.gif
      Agrandir l'image
      [​IMG]

      Un point [​IMG] du plan peut être repéré soit par ses coordonnées cartésiennes [​IMG] , soit par ses coordonnées polaires [​IMG] .

      Explicitons le vecteur position [​IMG] dans la base polaire [​IMG] .

      Posons [​IMG] dans [​IMG] , d'où :

      [​IMG]

      [​IMG]

      [​IMG]

      D'après les relations entre les composantes cartésiennes et polaires :

      [​IMG]


      Sur la matrice d'une application linéaire
      Soit

      • [​IMG] une application linéaire de [​IMG] dans [​IMG] (endomorphisme),
      • [​IMG] (resp. [​IMG] ) une matrice carrée d'ordre [​IMG] associée à [​IMG] dans la base [​IMG] (resp. [​IMG] ),
      • [​IMG] la matrice de passage de [​IMG] à [​IMG] ,
      • [​IMG] (resp. [​IMG] ) et [​IMG] (resp. [​IMG] ) les matrices colonnes des composantes des vecteurs [​IMG]et [​IMG] dans [​IMG] (resp. [​IMG] )
      alors, si [​IMG]

      Comme [​IMG] et [​IMG] , alors :

      [​IMG] soit en prémultipliant par [​IMG] : [​IMG]


      Exemple : Transformation de la matrice d'une application linéaire
      Soit [​IMG] un espace vectoriel sur [​IMG] , de dimension [​IMG] , et soit [​IMG] l'endomorphisme de [​IMG] ayant pour matrice dans la base [​IMG] de [​IMG] .

      [​IMG]

      On pose : [​IMG] .

      Calculer la matrice [​IMG] de [​IMG] relativement à la base [​IMG] .

      Par définition : [​IMG] avec [​IMG] la matrice de passage de [​IMG] dans [​IMG] :

      img78.gif
      Agrandir l'image
      [​IMG]

      La matrice inverse [​IMG] peut s'obtenir en explicitant les vecteurs de base de [​IMG] en fonction des vecteurs de base de [​IMG] :

      [​IMG]

      [​IMG]
      d'où [​IMG]

      [​IMG]

      On remarque que ce changement de base a pour effet de donner une forme plus simple à la matrice de [​IMG] : on a diagonalisé la matrice de [​IMG] .



      Soit B = (e1,e2,e3) la base canonique de R3.
      Sachant que les vecteurs de la base B' sont définis par : [​IMG]

      la matrice de passage P de B à B' est la matrice carrée : [​IMG]

      La matrice P-1 sera la matrice de passage de B' à B, obtenue en explicitant les vecteurs de base de B dans B'.

      [​IMG]
      [​IMG]





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      Last edited: Jan 6, 2018
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