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Exercice de logique mathématique avec correction

abdelouafiNov 6, 2017

    1. abdelouafi

      abdelouafi Administrator Staff Member

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      Logique et ensembles
      Exercice 1.1.1 (✯) Prouver que l’équivalence suivante est toujours vraie : (A⇒B) ⇔ (A ou B)

      Exercice 1.1.2 (✯) Prouver que l’équivalence suivante est toujours vraie : (A ou (B et C)) ⇔ ((A ou B) et (A ou C))

      Exercice 1.1.3 (✯) Décrire les parties de R qui sont définies par les propositions (vraies) suivantes :
      1) (x > 0 et x < 1) ou x = 0
      2) x > 3 et x < 5 et x 6= 4
      3) (x 6 0 et x > 1) ou x = 4
      4) x > 0 ⇒ x > 2.

      Quantificateurs
      Exercice 1.1.4 (✯)
      Soient I un intervalle de R et f : I → R une fonction définie sur I à valeurs réelles.
      Exprimer verbalement la signification des propositions suivantes :
      1) ∃ λ ∈ R, ∀ x ∈ I, f(x) = λ
      2) ∀ x ∈ I, f(x) = 0 ⇒ x = 0
      3) ∀ y ∈ R, ∃ x ∈ I, f(x) = y
      4) ∀ (x, y) ∈ I 2 , x 6 y ⇒ f(x) 6 f(y)
      5) ∀ (x, y) ∈ I 2 , f(x) = f(y) ⇒ x = y

      Exercice 1.1.5 (✯)
      Soient I un intervalle de R et f : I → R une fonction définie sur I à valeurs réelles.
      Exprimer à l’aide de quantificateurs les propositions suivantes :
      1) la fonction f s’annule
      2) la fonction f est la fonction nulle
      3) f n’est pas une fonction constante
      4) f ne prend jamais deux fois la même valeur
      5) la fonction f présente un minimum
      6) f prend des valeurs arbitrairement grandes
      7) f ne peut s’annuler qu’une seule fois

      Exercice 1.1.6 (✯)
      Soient I un intervalle de R non vide et f :
      I → R une fonction à valeurs réelles définie sur I.
      Exprimer les négations des propositions suivantes :
      1) ∀ x ∈ I, f(x) 6= 0
      2) ∀ y ∈ R, ∃ x ∈ I, f(x) = y
      3) ∃ M ∈ R, ∀ x ∈ I, |f(x)| 6 M
      4) ∀ (x, y) ∈ I 2 , x 6 y ⇒ f(x) 6 f(y)
      5) ∀ (x, y) ∈ I 2 , f(x) = f(y) ⇒ x = y
      6) ∀ x ∈ I, f(x) > 0 ⇒ x 6 0

      Exercice 1.1.7 (✯)
      Soit f : R → R. Indiquer la différence de sens entre les deux propositions proposées :
      1. ∀ x ∈ R, ∃ y ∈ R, y = f(x) et ∃ y ∈ R, ∀ x ∈ R, y = f(x).
      2. ∀ y ∈ R, ∃ x ∈ R, y = f(x) et ∃ x ∈ R, ∀ y ∈ R, y = f(x)
      3. ∀ x ∈ R, ∃ M ∈ R, f(x) 6 M et ∃ M ∈ R, ∀ x ∈ R, f(x) 6 M



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